2026 – Finale Internazionale – g2

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7 – Cu(bi)colore

In quanti modi diversi si può colorare un cubo utilizzando due colori?

Soluzione

Ci sono 10 modi. Usando B e N per Bianco e Nero:

  • BBBBBB – NNNNNN
  • BBBBBN – NNNNNB
  • BBBBNN x 2 – NNNNBB x 2
  • BBBNNN x 2

10 – Mondo

Disegnare un campo di gioco formato da 4 quadrati e 6 triangoli equilateri avente perimetro 10u. Quanti sono i segmenti disegnati in tutto?

Soluzione

In tutto ci sono 22 segmenti.

11 – Torre di Hanoi

In quante mosse si passa dalla prima alla seconda configurazione?

Soluzione

Servono al minimo 23 mosse.

12 – Il Parco del Quadrato

Se il quadrato di Lilly ha area 2026m2, qual è l’area del quadrato di Beethoven, sapendo che il parco è quadrato?

Soluzione

AB = 2 AL = 4052 m2

13 – L’età è relativa
Achille ha una tartaruga e un cane. Una tartaruga invecchia due volte più lentamente di un essere umano, mentre un cane tre volte più velocemente. Ciò significa che, quando un essere umano invecchia di 10 anni, nello stesso periodo una tartaruga sarà invecchiata di 5 unità- di-età-tartaruga, mentre un cane sarà invecchiato di 30 unità-di-età-cane. Quando si chiede ad Achille quanti anni ha, lui risponde: “Quando è nato il mio cane, avevo un’età, espressa in anni, uguale all’età della mia tartaruga, espressa in unità-di-età tartaruga. Quando i miei animali avevano la stessa età, ciascuno nella propria unità di età, io avevo 14 anni. Attualmente la mia età, espressa in anni, è uguale alla media delle età dei miei animali, ciascuna espressa nella propria unità di età”.
Qual è l’età di Achille (in anni e in mesi)?

Soluzione

Si può calcolare usando le età in anni umani. Siano A, C e T le età in anni umani di Achille, del Cane e della Tartaruga.

  • A-C = (T-C)/2
  • (T-(A-14))/2 = 3(C-(A-14))
  • A = (T/2+3C)/2

Con qualche passaggio, si ottiene:

  • 2A = 5C
  • T = 4C

Da cui si ricava:

  • C = 20/3
  • T = 80/3
  • A = 50/3 = 16 anni + 8 mesi

14- La chimica degli Shadoks

Con 2026 GA e le seguenti reazioni chimiche:

  • 4 GA –> 2 BU + 1 ZO
  • 4 BU –> 2 GA + 1 ZO
  • 4 ZO –> 1 GA + 1 BU + 1 MEU

quante MEU si possono ottenere al massimo?

Soluzione

Costruendo la seguente tabella:

GA — BU — ZO — MEU

-4 2 1

2 -4 1

1 1 -4 1

Si ottiene:

-1 1 0 0

0 -6 3 0

0 0 -6 2

Cioè:

-6 0 0 1

Quindi servono 6 GA per ottenere 1 MEU. Al massimo si possono creare 2026 : 6 = 337 MEU.

15 – L’equazione

Data l’equazione x2 – ax – 152 =0, quanti e quali sono i valori interi positivi di a per cui l’equazione ammette due soluzioni intere?

Soluzione

Dette x e y le due soluzioni, si ha:

  • x · y = -152 –> (-152,1) – (-76,2) – (-38,4) – (-19,8) – (19,-8) – (38,-4) – (76,-2) – (152,-1)
  • x+y = a –> -151, -74, -34, -11, 11, 34, 74, 151

Quattro valori positivi per a.

16 – Tre amiche per una bicicletta

Alice e Carola camminano a 6 km/h. Eva corre a 12 km/h. Tutte e tre in bici vanno a 30 km/h. Qual è il tempo minimo necessario perché tutte e tre arrivino alla stazione che si trova a 22km di distanza?

Soluzione
  • A e C percorrono lo stesso tratto a piedi e in bicicletta
  • In 1 ora, con lo scambio di bici, percorrono 10 km, 5 in bicicletta (10min) e 5 a piedi (50min).
  • Con lo scambio di bici, percorreranno 22 km in 2h12min.
  • Eva corre di 24 km in 2h10min.
  • La strategia per minimizzare il tempo può essere la seguente:
    • A parte in bici, C e E a piedi da O.
    • A arriva fino a xA e poi prosegue a piedi fino all’arrivo.
    • E raggiunge xA, prende la bici e torna indietro fino a xB. Poi prosegue a piedi fino all’arrivo.
    • C raggiunge xB e poi prosegue in bici fino all’arrivo.

Il grafico tempo-spazio qui sotto (in ascissa le decine di muniti trascorsi, in ordinata i km percorsi) illustra la strategia di corsa:

Dovrà essere:

  • xA = 30 tA (1)
  • xB = 6 tB (2)
  • x1 = xA, t1 = xA/12 = 2.5 tA (3)
  • xA + xB = 22 km = 30 tA + 6 tB (4)
  • tB – t2 = t1 – tA (5)
  • xA – xB = 30 (t2 – t1) = 30 (tB + tA – 2.5 tA – 2.5 tA) = 30 (tB – 4 tA) (6)
  • 2 xA = 60 tA = 30 tA + 6 tB + 30 (tB – 4 tA) = 36 tB – 90 tA –> 150 tA = 36 tB –> 6 tB = 25 tA
  • 22 km = 30 tA + 25 tA = 55 tA –> tA = 2/5, tB = 5/3
  • t = tA + tB = 2/5 + 5/3 = (6+25)/15 = 31/15 h = 31 ⋅ 4 = 124 min

17 – Radici senza fine

Per ogni intero n>=1 sia:

an=n+n+n+...a_n = \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{…}}}}

Si trova che a1 = (1+√5)/2 mentre a2 è il primo termine intero della successione. Quale valore corrisponde al 2026° intero della successione?

Soluzione
an2=n+ana_n^2 = n + a_n

2an=1±1+4n2a_n = 1\pm\sqrt{1+4n}

Quindi an è intero se 4n+1 è un quadrato perfetto, cioè 9, 25, 49, 81 … che si ottiene con n=2,6,12,20 .. = i · (i+1) con i = 1,2,3,4 …

Il 2026° termine corrisponde quindi a n = 2026 · 2027 = 4106702.

18 – Un giro in oceano

Una nave si trova ancorata in un punto a 45° di latitudine nord. Si muove verso ovest per 1000km, poi verso sud per 1000km, poi verso est per 1000km, poi verso nord per 1000km. Considerando la superficie terrestre come una sfera perfetta di 40000km di circonferenza massima, calcolare a quale distanza si trova la nave rispetto al punto di partenza.

Soluzione

I due tratti percorsi verso Sud e verso Nord portano da latitudine 45° a latitudine 36°, essendo 1000km pari a 1/10 dell’arco di circonferenza che va dall’equatore al polo (ampiezza 90°).

La differenza quindi è dovuta ai tratti verso ovest e verso est che corrispondono a due angoli diversi.

Il primo tratto verso ovest è ampio:

  • αO = 1000/R · sin(45°) = 1000/R · √2 ~ 1000/R · 1.414 = 1414/R
  • αE = 1000/R · sin(54°) = 1000/R · 4/(√5+1) = 4000 · (√5-1)/4R ~ 1000/R · 1.236 = 1236/R

La distanza finale è pari a:

  • d = (αO – αE) · R · sin(45°) ~ (1414-1236) · 0.707 = 178 · 0.707 ~ 125.8 ~ 126 km